Категории

Частотные характеристики импульсных систем

Реактивая МОЩНОСТЬ катушки и конденсатора

8. Частотные характеристики дискретных систем

Лекция № 6

Тема:

Частотные характеристики дискретных систем.

План лекции:

1. Определение установившейся реакции импульсной системы на дискретный гармонический сигнал.

2. Частотные характеристики дискретных систем.

3. Свойства частотных характеристик импульсных систем.

1. Определение установившейся реакции импульсной системы на дискретный гармонический сигнал.

Рассмотрим прохождение дискретного гармонического сигнала

.

через импульсную систему с передаточной функцией . Для этого найдем реакцию системы на воздействие

(31)

и далее выделим ее действительную часть,

Найдем изображение сигнала (31). На основании формулы (20) получим

.

Изображение выходной переменной системы имеет вид

.

Вычислив обратное Z-преобразование, найдем реакцию импуль­сной системы на сигнал (31):

где - особые точки выражения, стоящего под знаком вычета, т.е. это полюсы передаточной функции и точка .

Положим для простоты, что полюсы передаточной функции некратные и удовлетворяют условию

(32)

Тогда

или

(33)

где

.

При выполнении условия (32) второе слагаемое правой части формулы (33) стремится к нулю при и в системе устанавливается вынужденное движение

(34)

Выделив в выражении (34) действительную часть, получим реакцию системы на гармонический сигнал в виде

.

Из последней формулы видно, что при прохождении дискретного гармонического сигнала через импульсную систему у него изменяются амплитуда и фаза: амплитуда увеличивается в раз, а фаза изменяется на .

2. Частотные характеристики дискретных систем.

Выражение , полученное из Z-передаточной функции подстановкой , называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) импульсной системы. Функция называется амплитудной частотной характеристикой, функция - фазовой частотной характеристикой импульсной системы. АФЧХ импульсной системы позволяют найти установившуюся реакцию на гармоническое воз­действие, и в этом они сходны с АФЧХ непрерывных систем. АФЧХ импульсных систем определяют по следующим формулам:

, (38)

, (39)

. (40)

Пример. Пусть . Найти частотные характеристики звена с такой передаточной функцией.

В соответствии с определением имеем

;

;

.

Г
рафики АФЧХ, построенные по приведенным зависимостям, показаны на рис.17 (здесь ).

Рис .17

Из рис.17 видно, что частотные характеристики импульсных систем существенно отличаются от АФЧХ непрерывных систем, изучаемых в курсе "Основы ТАУ".

3. Свойства частотных характеристик импульсных систем.

Рассмотрим некоторые свойства частотных характеристик импульсных систем.

1.Вследствие периодичности экспоненты частотная характеристика дискретной системы является периодической функцией частоты с периодом . Поэтому АФЧХ импульсной системы полностью определяется значениями в диапазоне (в основной полосе). Периодичность АФЧХ приводит к тому, что импульсная система одинаково пропускает сигналы и , так как в обоих случаях на выходе ИИЭ существуют одинаковые последовательности импульсов. Это свойство импульсных систем поясняет рис.18.

Р
ис. 18

2. Амплитудно-частотная характеристика является четной функцией частоты, т.е.

Вследствие четности АЧХ и периодичности достаточно знать значения АЧХ в диапазоне .

Фазово-частотная характеристика является нечетной функцией частоты, т.е. .

Она также может быть задана своими значениями в диапазоне .

3. При частотах , где частотная характеристика дискретной системы всегда принимает действительные значения:

или

.

Это свойство выполняется за исключением случаев, когда передаточная функция ПНЧ имеет полюс порядка m .Тогда передаточная функция W(z) имеет полюс z=1 того же порядка m и при .

Лекция № 7

Тема:

Вычисление частотных характеристик дискретных систем.

План лекции:

1. Псевдочастотные характеристики импульсных систем.

2. Методы построения частотных и псевдочастотных характеристик дискретных систем.

1. Псевдочастотные характеристики импульсных систем.

Помимо рассмотренных АФЧХ, для дискретных систем оказывается возможным ввести характеристики, которые по методике построения и по своим свойствам схожи с ЛАФЧХ непрерывных систем. Такие характеристики называются псевдочастотными (ПЧХ).

Как отмечалось выше, АФЧХ дискретной системы рассматривают в диапазоне частот где - частота квантования. Чтобы использовать привычную методику построения ЛАФЧХ , введем псевдочастоту

. (41)

Зависимость, связывающая ? и ?, иллюстрируется рис.19, из которого видно, что изменению частоты ? в диапазоне соответствует изменение псевдочастоты ? в диапазоне .

Р
ис. 19

Рассмотрим передаточную функцию дискретной системы . Заменим переменную z на переменную w по формуле

(42)

Такое преобразование переменных называется дробно-линейным или билинейным. После замены переменных по формуле (42) передаточная функция преобразуется в передаточную функцию

.

Частотные характеристики дискретных систем получают подстановкой в z -передаточную функцию величины . Возникает вопрос, на какую величину следует заменить переменную w в передаточной функции , чтобы получить те же частотные характеристики системы.

Из зависимости (42) получим

.

При , имеем

.

Таким образом, частотные характеристики дискретной системы в функции псевдочастоты ? могут быть получены заменой в w-передаточной функции переменной w на j?;

.

Связь псевдочастоты с частотой задается соотношением (41),причем на малых частотах эти величины практически совпадают. Частотная характеристика в функции псевдочастоты ? называется псевдочастотной характеристикой.

По отношению к переменной z передаточные функции W(z)-это дробно-рациональные выражения. Следовательно, по отноше­нию к переменной w они также будут дробно-рациональными, т.е. ПЧХ есть дробно-рациональная функция j? , причем ? изменяется в пределах от 0 до . Таким образом, ПЧХ дискретных систем имеют те же асимптотические свойства, что и АФЧХ непрерывных систем.

Наряду с АФЧХ могут быть построены логарифмические псевдочастотные характеристики (ЛПЧХ) дискретных систем. Это позволяет применять известные частотные методы анализа и синтеза непрерывных систем и для дискретных систем.

2. Методы построения частотных и псевдочастотных характеристик дискретных систем.

Рассмотрим некоторые возможные способы построения АФЧХ дискретных систем. Заметим, что АФЧХ дискретных систем в отличие от АФЧХ непрерывных систем никогда экспериментально не снимаются. Они строятся либо по частотной характеристике ПНЧ, либо по Z-передаточной функции системы W(z) .

Если ПНЧ дискретной системы задана АФЧХ, то АФЧХ импульсной САУ может быть определена по формулам (36), (39).При этом можно либо сначала найти действительную и мнимую частотные характеристики и затем определить , либо в формулах (36), (39) выполнить непосредственное векторное сложение. Рассмотрим первый способ. Перепишем формулу (39):

.

При известных действительной и мнимой частотных характеристиках ПНЧ P(?), Q(?) получим

.

Обычно в этих соотношениях удается ограничиться конечным небольшим числом слагаемых, что сильно упрощает процесс вычислений. По известным характеристикам можно построить амплитудно- и фазо-частотные характеристики дискретной системы:

.

При непосредственном векторном сложении в правой части равенства (39) удерживается конечное число членов и выполняется их графическое суммирование. Пусть, например, учитываются слагаемые при k=M , -M+1 , …,0,1,… ,M .Тогда получим

.

Кроме изложенных способов для построения АФЧХ дискретной системы может быть использована непосредственно ее Z -передаточная функция W(z). Логарифмические ПЧХ строятся по -передаточной функции совершенно аналогично тому, как строятся ЛАФЧХ непрерывных систем, с использованием тех же шаблонов для типовых звеньев. При этом возможно использование таблиц -преобразования [4] ,которое представляет собой результат последовательного применения к передаточной функции W(p) ПНЧ -преобразования и -преобразования.

Пример. Построить логарифмические ПЧХ импульсной системы, схема которой представлена на рис.20.

Р
ис. 20

Ранее была найдена z-передаточная функция этой системы:

.

Выполним подстановку и найдем :

где .

В числителе полученной передаточной функции имеется неминимально-фазовое звено, что типично для дискретных систем. Логарифмические ПЧХ данной системы представлены на рис.21. Качественно эти характеристики совпадают с ЛАФЧХ непрерывных систем, что позволяет применить аппарат исследования таких САУ.

П
ри необходимости определения частотных характеристик замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой и наоборот, возможно использование номограмм. Отметим, что для схемы, приведенной на рис. 10 , применимы все номограммы, разработанные для непрерывных систем.

Рис.21

Таким образом, для дискретных систем введено понятие частотных характеристик и рассмотрены некоторые способы их построения. С формальной точки зрения АФЧХ дискретных и непрерывных систем совпадают в том, что они характеризуют прохождение гармонического сигнала через систему. Однако следует помнить, что при этом для дискретных систем рассматривался дискретный гармонический сигнал без изучения спектра по непрерывной огибающей. При прохождении непрерывного гармонического сигнала частотные свойства импульсных систем будут существенно отличаться от свойств непрерывных систем.

Лекция № 8

Тема:

Частотные свойства импульсных систем.

План лекции:

1. Прохождение непрерывного гармонического сигнала через дискретную систему.

2. Спектры сигналов в дискретной системе.

1. Прохождение непрерывного гармонического сигнала через дискретную систему.

Рассмотрим вопрос о прохождении непрерывного гармонического сигнала через дискретную систему. В непрерывной системе входному гармоническому сигналу соответствует выходной гармонический сигнал, т.е. качественного изменения спектра не происходит. Дискретная система изменяет спектр входного сигнала, вводит в него дополнительные составляющие. Приведем простейший пример. Определим реакцию дискретной системы с передаточной функцией на гармонический сигнал . Такую передаточную функцию имеет система, структурная схема которой изображена на рис.22. При этом , интервал квантования равен 0,693 с и на периоде входного сигнала укладывается 10 таких интервалов.

Используем АФЧХ данной схемы для определения реакции на дискретный сигнал :

;

.

Выходной сигнал, рассматриваемый в моменты квантования, имеет вид.

.

Р
ис.22.

Полученная формула определяет лишь реакцию в дискретные моменты времени, а не вид всего выходного процесса при произвольном времени t. Для построения графика установившегося процесса будем действовать в следующей последовательности:

1. Из последней формулы найдем начальное значение , соответствующее данному процессу.

2. На интервале . В соответствии с зависимостью для апериодического звена определим выходную величину

,

при этом

.

3. В момент t=T на вход непрерывной части действует ?-функция . Она вызывает скачок выходной переменной y(t), при этом

.

В дальнейшем, при процесс вычисления координаты y(t) аналогичен описанному. Внутри каждого интервала выходная величина y(t) имеет вид

а в точках сигнал терпит разрыв и при этом

.

Г
рафик установившегося процесса для рассматриваемой системы приведен на рис.23. Из рисунка видно, что решетчатая функция y[kT], рассматриваемая в моменты квантования, является гармонической. Тем не менее сам процесс гармоническим не является, т.е. дискретная система изменяет спектр входного сигнала.

Рис.23

2. Спектры сигналов в дискретной системе.

Причина такого изменения спектра с формальной точки зрения становится понятной, если вспомнить связь между изображением решетчатой функции и преобразованием Лапласа исходной непрерывной функции. Это известная формула - преобразования

.

Из этой зависимости следует, что если , то , т.е. процесс квантования сопровождается возникновением бесконечного множества дополнительных гармонических составляющих, каждая из которых преобразуется непрерывной частью системы.

Пусть теперь - некоторая непрерывная преобразуемая по Фурье функция. Рассмотрим спектр соответствующей решетчатой функции. В соответствии с формулой -преобразования он определится по зависимости

.

Таким образом, частотный спектр включает спектр непрерывной функции при n=0 (основной спектр) и боковые дополнительные спектры, смещенные по оси частот на (рис. 24). Полезная информация содержится лишь в основном спектре. Если спектр входного сигнала не содержит составляющих c частотой, большей половины частоты квантования, т.е.

, (43)

где - максимальная частота спектра входного сигнала, то боковые спектры не накладываются друг на друга и спектр дискретного сигнала представляет собой простое повторение основного спектра. Тогда, отфильтровывая высокочастотные составляющие , можно восстановить входной непрерывный сигнал из его дискретного представления. Если условие (43) не выполняется, дополнительные спектры перекрываются и восстановление непрерывного сигнала без искажений невозможно. Отметим, что этот результат соответствует теореме Котельникова, рассматриваемой в курсе "Математические основы ТАУ".

Р
ис.24

Аналогичные рассуждения можно провести и для частотных характеристик дискретных систем. Перепишем зависимость (39)

.

Пусть -максимальная частота существования АФЧХ приведенной непрерывной части, т.е.

при .

Тогда, если , то АФЧХ дискретной системы имеет вид, аналогичный характеристикам, приведенным на рис.24. Если на вход такой системы подать сигнал, спектр которого удовлетворяет условию (43), то окажется, что выходная величина импульсной САУ будет такой же, как и при подаче соответствующего непрерывного сигнала на вход ПНЧ. В этом случае можно говорить об эквивалентности дискретной системы и ее ПНЧ. Обычно указанные условия выполняются лишь приближенно, при этом спектр непрерывного сигнала при прохождении через дискретную систему искажается. Эти искажения уменьшаются с увеличением частоты квантования , а также при уменьшении частоты , т.е. при улучшении фильтрующих свойств непрерывной части системы. Так как увеличение частот квантования не всегда возможно, то обычно используют второй способ уменьшения искажений передаваемого сигнала. При этом для достижения лучшего эффекта на выходе ИЭ могут включаться дополнительные сглаживающие фильтры. Следует, однако, иметь в виду, что уменьшение полосы пропускания ПНЧ приводит к ухудшению динамики системы, поэтому выбор решения, обеспечивающего хорошую фильтрацию и высокую динамику системы, является сложной задачей. Выше отмечалось, что если , то

. (44)

Из зависимости (44) следует, что даже при малых частотах входного сигнала на вход ПНЧ поступают составляющие высокой частоты , т.е. происходит перенос низкочастотного сигнала в высокочастотную область. В правильно спроектированных САУ ПНЧ фильтрует высокочастотные составляющие и это явление не сказывается на работе системы. Значительно более неблагоприятным оказывается явление переноса высокочастотного сигнала в низкочастотную область. Если на вход системы действует сигнал высокой частоты (например, помеха), то после ИЭ появляются составляющие с частотами Отдельные составляющие этого набора частот могут попасть в полосу пропускания ПНЧ системы, и тогда в замкнутой САУ при высокочастотном входном воздействии возникнут низкочастотные движения, что крайне нежелательно, так как они накладываются на полезный сигнал. Для устранения этого явления следует использовать фильтры, включая их перед импульсным элементом. При этом уменьшается амплитуда помехи, приходящей на импульсный элемент.

Несмотря на то, что АФЧХ дискретной системы не дают полной информации о ее выходном сигнале, они позволяют исследовать устойчивость системы, оценивать качественные показатели САУ, проводить синтез корректирующих устройств. Методы анализа и синтеза цифровых СУ, основанные на использовании частотных характеристик, наиболее часто применяются как инженерные методы расчета таких систем.

< предыдущая1245...8следующая >

Смотреть полностью



Скачать документ


Похожие документы:

Источник: http://textarchive.ru/c-1291639-p3.html

Частотные характеристики импульсных систем

1.4. Частотные характеристики импульсных систем

При описании и исследовании импульсных систем наряду с передаточными функциями и разностными уравнениями широкое распространение получили методы на базе частотных характеристик.

Если в формуле (1.7), определяющей прямое Z–преобразование, сделать замену переменной , то получим соотношение

, (1.23)

которое определяет прямое дискретное преобразование Фурье.

Пусть известна передаточная функция разомкнутой системы , тогда после формальной замены получим, где  угловая частота.

Функция называетсяамплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) импульсной системы. Далее знак будет относиться к частотным характеристикам импульсных систем. Характеристики без этого знака (например, ) будут относиться к непрерывным системам.

называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) системы, а фазовой частотной характеристикой системы. Можно также ввести понятия вещественной и мнимой частотных характеристик.

Физический смысл частотных характеристик импульсной системы точно такой же, как и для непрерывной. Если на вход разомкнутой системы рис. 1.3 поступает гармонический сигнал , которому соответствует решетчатая функция, то на выходе в установившемся режиме будем иметь сигнал

, (1.24)

где здесь и далее будет обозначать установившееся значение сигнала или процесса приили больших значений времени.

Таким образом, АЧХ показывает, как изменяется амплитуда гармоники, а ФЧХ определяет величину фазового сдвига при прохождении гармоники через импульсную систему.

Так как , а , то в силу периодичности функцийичастотные характеристики по отношениюявляются периодическими функциями периода, где здесь и далее– частота квантования (дискретизации) импульсного элемента.

Так же как для непрерывных систем и для импульсных САУ строятся графики ина плоскости при изменении частоты. График является годографом на комплексной плоскости. Так как частотные характеристики периодические с периодом , то их достаточно строить только на интервале частот отдо. Более того– четная, анечетная функции своего аргумента, а годограф симметричен относительно действительной оси. Поэтому характеристики обычно строятся на интервале частот от 0 до .

Периодичность частотных характеристик отличает их от характеристик непрерывных систем, что является неудобным для получения логарифмических характеристик. Поэтому введем еще один класс частотных характеристик. В передаточной функции сделаем замену комплексной переменной на новую комплексную переменную по формулам:

,. (1.25)

Заменяя получим. Обозначим, тогда, где имеет размеренность угловой частоты и носит название псевдочастоты. При изменении отдопсевдочастота изменяется отдо. При малыхчастота близка к .

Итак, заменяя на , получим передаточную функцию , из которой, полагая получаем частотные характеристики ,, – соответственно АФЧХ, АЧХ и ФЧХ относительно псевдочастоты.

Используя АЧХ и ФЧХ можно получить логарифмические характеристики – ЛАЧХ и – ЛФЧХ. Графики логарифмических характеристик строятся обычным образом, как и для непрерывных систем в логарифмическом масштабе.

В заключение рассмотрим одно из интересных свойств импульсных систем, связанное с периодичностью частотных характеристик. Пусть на вход разомкнутой системы поступает гармонический сигнал ,, которому соответствует решетчатая функция. Тогда в соответствии с (1.24) в установившемся режиме на выходе будем иметь

.

В силу периодичности частотных характеристик и имеем,. Кроме того с учетомможно записать. Окончательно получим, что совпадает с (1.24).

Итак, высокочастотная гармоника и низкочастотнаяна выходе разомкнутой импульсной системы дают один и тот же выходной сигнал. Это явление называетсястробоскопическим эффектом, который заключается в переносе высокочастотных составляющих спектра входного сигнала в низкочастотную область.

Пример 1.3. Пусть , тогда передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с (1.16) будет иметь вид

,,,.

Найдем основные частотные характеристики такой разомкнутой импульсной системы. Полагая с учетомбудем иметь

, (1.26)

, (1.27)

. (1.28)

График АФЧХ (1.26) на комплексной плоскости представляет собой полуокружность при изменении частоты от 0 до(рис.1.6, а). При этом,. Радиус этой окружности равен, а центр лежит на оси в точке C с координатой.

Рис. 1.6

Найдем логарифмические характеристики такой разомкнутой импульсной системы. В передаточной функции сделаем замену, тогда после несложных преобразований получим

,

где ,,, аиможно рассматривать как постоянные времени. Заменяя, получим АФЧХ относительно псевдочастоты

, (1.29)

из которой находим АЧХ и ФЧХ

, (1.30)

. (1.31)

Логарифмическую амплитуду частотную характеристику получим из , которая будет иметь вид

. (1.32)

На рис. 1.7 приведены графики ЛАЧХ и ЛФЧХ построенные в соответствии с (1.32) и (1.31), в которых учтено, что всегда .

Рис. 1.7

Источник: https://StudFiles.net/preview/3675357/page:6/

1.4. Частотные характеристики импульсных систем

Свойства частотных характеристик импульсных систем.

Рассмотрим некоторые свойства частотных характеристик импульсных систем.

1.Вследствие периодичности экспоненты частотная характеристика дискретной системы является периодической функцией частоты с периодом . Поэтому АФЧХ импульсной системы полностью определяется значениями в диапазоне (в основной полосе). Периодичность АФЧХ приводит к тому, что импульсная система одинаково пропускает сигналы и , так как в обоих случаях на выходе ИИЭ существуют одинаковые последовательности импульсов. Это свойство импульсных систем поясняет рис.18.

 

 
 

Рис. 18

2. Амплитудно-частотная характеристика является четной функцией частоты, т.е.

Вследствие четности АЧХ и периодичности достаточно знать значения АЧХ в диапазоне .

Фазово-частотная характеристика является нечетной функцией частоты, т.е. .

Она также может быть задана своими значениями в диапазоне .

3. При частотах , где частотная характеристика дискретной системы всегда принимает действительные значения:

или

.

Это свойство выполняется за исключением случаев, когда передаточная функция ПНЧ имеет полюс порядка m .Тогда передаточная функция W(z) имеет полюс z=1 того же порядка m и при .

 







Дата добавления: 2016-07-05; просмотров: 709;


Похожие статьи:

Источник: http://poznayka.org/s29478t1.html
Смотрите далее